Le titre de cette entrée mérite peut-être un mot d’éclaircissement. Le mot cinématique signifie que j’essaie de décrire le mouvement, sans m’intéresser à ses causes, qui sont l’objet d’étude de la dynamique. De plus, je vais chercher à comprendre la cinématique inventée par Einstein en 1905, autrement dit la théorie de la relativité restreinte et non la cinématique classique qui a été mise au point par Galilée et Newton. Je lis pas mal de textes différents, mais en ce moment surtout le cours Electromagétisme et relativité de J.M.Raymond, je vais donc me baser essentiellement là-dessus .

Les limites de la cinématique classique

D’après ce que j’ai pu voir, tous les cours sur la relativité restreinte commencent par une petite histoire qui raconte les problèmes rencontrés par la mécanique classique à la fin du XIXéme siècle. Je ne vais pas déroger à la tradition, mais je vais faire bref, d’autant plus que je n’y connais pas grand chose. Apparement, le principal problème était la compatibilité de la mécanique classique, disons newtonienne avec l’électromagnétisme. Maxwell avait publié en 1864 une théorie du champ électromagnétisme qui unifiait les résultats déja connus sur l’électricité et le magnétisme (comme son nom l’indique). Il s’est alors rendu compte que ce champ électromagnétique pouvait osciller et que les ondes ainsi crées se propagaient à une vitesse déterminée, qui était celle que l’on avait mesurée expérimentalement pour la lumière. Super! Mais ça posait un grave problème. Depuis Galilée, on savait que le mouvement en ligne droite et à vitesse constante ne pouvait pas être détecté. Pour être plus précis, si deux observateurs se trouvent dans deux laboratoires et que le premier se déplace par rapport au second en ligne droite et à vitesse constante, alors toutes les expériences qu’ils feront donneront les mêmes résultats. On peut donc dire que le mouvement en ligne droite et à vitesse constante est “comme nul”: les lois de la physique restent les mêmes que l’on considère le premier ou le deuxième laboratoire comme immobile, c’est ce que l’on appele le principe de relativité. C’est à cause de ce principe que l’on ne peut pas parler de mouvement dans l’absolu, mais toujours par rapport à quelque chose considéré comme immobile. On ne peut pas non plus dire que deux évènements se produisent au même endroit dans l’absolu, mais seulement au même endroit par rapport à quelque chose que l’on pose comme immobile. Et c’est aussi à cause de ce principe qu’il y a un os : si les lois du champ électromagnétique découvertes par Maxwell sont les mêmes dans les deux laboratoires, alors la vitesse de la lumière doit aussi être la même. Mais c’est absurde. Je reprends l’exemple archi-rebattu des trains : si un train roule à 100 km/h par rapport à la gare et que je marche à 5 km/h dans le train, je me déplace à 105 km/h par rapport à la gare. Un objet ne peut pas avoir la même vitesse par rapport à deux objets en mouvement l’un par rapport à l’autre.

De Galilée à Lorentz

Et bien en fait si, et c’est ce qu’a compris Einstein. Mais pour l’expliquer, je dois être plus précis et donner quelques définitions. Pour décrire les phénomènes, comme le fait la physique, on doit leur assigner une position et une date. On appelle référentiel un système de trois coordonnées d’espace (des coordonnées cartésiennes x, y et z) et une de temps (la date t). Le quadruplet (x,y,z,t) (une position et une date) décrit un évènement. Un points de l’espace est alors l’ensemble des évènements qui ont une position donnée. Géométriquement, on peut associer à un réferentiel une origine spatiale O, qui est le point ou les trois coordonnées d’espace sont nulles et l’axe Ox, c’est à dire l’ensemble des points où y et z sont nulles. On définit aussi de la même façon les axes Oy et Oz. Cette origine et ces trois axes forment un repère d’espace. Le laboratoire dont je parlais plus haut va en fait être un référentiel. Tout les lois de la physique (par exemple les lois de Newton et les équations de Maxwell du champ électromagnétique) s’écrivent dans un référentiel et avec les coordonnées x, y, z et t.

L’idée fondamentale est maintenant celle de symétrie des lois de la physique : il existe des transformations d’un système de coordonnées qui ne changent pas la forme des lois physique, c’est à dire que les nouvelles coordonnées vérifierons les mêmes équations que les anciennes. On dit que les lois de la physique sont invariantes sous certaines transformations des coordonnées. On suppose que toutes les lois de la physique sont invariantes sous quatres transformations :

• le déplacement de l’origine du repère d’espace en gardant les axes parallèles à eux-mêmes,

• le déplacement de l’origine des temps,

• la rotation du repère d’espace autour d’un axe (qui n’est pas forcément un des axes de coordonnées),

• un mouvement en ligne droite et à vitesse constante du repère d’espace.

Les deux premières symétries montrent que le temps et l’espace sont homogènes, la troisième que l’espace est isotrope, et la dernière est une traduction du principe de relativité. On appelle une classe de référentiels d’inertie un ensemble de systèmes de coordonnées qui se déduisent l’un de l’autre en appliquant ces transformations (une où plusieurs fois, on peut par exemple déplacer d’abord l’origine, puis faire tourner les axes,etc).
Je me concentre sur la dernière symétrie. Je compare deux référentiels (R) et (R’). Un évenement est repéré dans (R) par ses coordonnées (x,y,z,t) et dans (R’) par (x’,y’,z’,t’). Je suppose que (R’) se déplace en ligne droite à vitesse constante par rapport à (R). En déplaçant l’origine spatiale et temporelle de (R’) et en faisant tourner ses axes, je peux toujours m’arranger pour que les évenements (x=0,y=0,z=0,t=0) et (x’=0,y’=0,z’=0,t’=0) coincident. Alors O’ se deplace par rapport à (R) le long de l’axe Ox à vitesse constante. On va appeler cette vitesse v.

D’après la mécanique classique, les coordonnées d’un évènement dans (R’) sont données en fonction de ses coordonnées dans (R) par les transformations de Galilée:

En particulier, le temps est le même pour les deux référentiels. Cela signifie que lorsqu’on passe d’un référentiel à un autre par des transformation de notre liste, on ne fait au pire que changer l’origine des temps. Il suffit donc de fixer une origine pour définir un temps universel, valable pour tout les référentiels d’inertie. Pour le dire d’une autre façon, deux évènements qui sont simultanés dans un référentiel d’inertie le seront dans un autre. Si on admet ces transformations, on retrouve la loi d’addition des vitesses que j’ai utilisée dans l’exemple du train. En effet, supposons qu’un objet se déplace avec une vitesse v=(vx’,vy’,vz’) (j’utilise les lettre en gras pour écrire les vecteurs) dans le référentiel (R’). Alors si on appelle w=(wx,wy,wz) sa vitesse dans le référentiel (R),

On retrouve donc w=u+v. Ce qu’a découvert Einstein, c’est que les transformations de Galilée sont fausses, même si elles semblent absolument évidentes. Les transformation correcte sont celle de Lorentz

où c est la vitesse de la lumière dans le vide. On voit en particulier qu’il n’existe plus de temps absolu.

Einstein a démontré les transformations de Lorentz en se basant sur le principe de relativité et en supposant que la vitesse de la lumière dans le vide reste constante, indépendement du référentiel d’inertie dans lequel on la mesure. Plus tard d’autres physiciens les ont démontrées en supposant seulement que les lois de la physique étaient invariantes par les transformations de notre liste, et que certains évenements pouvaient être la causes de certains autres. C’est expliqué par exemple ici, ici ou ici.
Au cours de la démonstration il apparait une vitesse limite c qui n’est est pas forcément celle de la lumière, ni de quoi que ce soit d’ailleurs. J’ai lu que si  l’on suppose alors que le photon et de masse nulle, il se déplace forcément à cette vitesse. Ça je ne l’ai toujours pas compris, je verrai plus tard. Il parait aussi que les transformations de Galilée n’ont été écrite qu’une fois qu’après qu’Einstien eut montré qu’elles étaient fausses. Elles semblaient tellement évidentes avant que personne ne s’était donné cette peine. A partir de de ces nouvelle treansformation, on peut calculer une nouvelle formule de composition des vitesse qui n’est plus une simple addition. Le paradoxe que j’ai décris au début est évité, et on obtient une théorie cohérente même si elle semble très étrange. Je parlerai de tout ça dans une prochaine entrée.

Depuis 1985 environ, il n’est plus question que les mathématiciens, même les plus “purs”, ignorent les développements de la physique mathématique. (Pierre Cartier)

Je suis né en 1985 et je fais des études de maths donc ceci me concerne. De plus quelqu’un pour qui j’ai beaucoup d’admiration, Vladimir Igorevitch Arnol’d, est exactement du même avis. Selon lui, un mathématicien doit connaitre un bonne partie du contenu des cours de Laudau et Lifchitz. Comme c’est un objectif ambitieux, je vais procéder par étapes.

Mes derniers cours de physique datent de mes années de classes préparatoires. J’ai donc étudié avec plus ou moins de bonheur la mécanique newtonienne, la thermodynamique, l’optique géométrique et ondulatoire et pas mal d’électromagnétisme, jusqu’aux équations de Maxwell. J’ai aussi subi une bonne dose de cours de chimie que je n’ai jamais vraiment compris et que je me suis empressé d’oublier mais durant lesquels on m’a touché un mot de mécanique quantique. Je ne suis donc pas totalement néophyte en physique mais le nombre de choses que je ne sais pas me rend un peu triste. C’est pour cette raison que je commence à étudier ce qui me manque durant ces vacances d’été et que j’espère pouvoir continuer l’année prochaine.

Je tiens ce blog pour m’obliger à travailler régulièrement et à mettre au clair ce que j’apprends. Mais je souhaite aussi recevoir des commentaires. Si vous étudiez le même sujet que moi et souhaitez en discuter, ou si vous le connaissez déjà et avez des remarques à faire, soyez les bienvenus. Avec un peu de chance, j’écrirai bientôt une première entrée sur la relativité restreinte.